В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей.
Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).
Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.
Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:
- величиной каждого отдельного платежа;
- интервалом времени между двумя последовательными платежами (периодом аннуитета);
- сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени — вечные аннуитеты);
- процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.
Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) — пожалуй, самый распространенный случай.
Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в дальнейшем.
Введем следующие обозначения:
Р — величина каждого отдельного платежа;
iс — сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;
Sk — наращенная сумма для k-гo платежа аннуитета постнумерандо;
S — наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);
Ак — современная величина к-го платежа аннуитета постнумерандо;
А — современная величина всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма современных величин всех платежей);
Sп — наращенная сумма аннуитета пренумерандо;
Aп — современная величина аннуитета пренумерандо;
n — число платежей.
